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In der Mathematik ist eine Lambert-Reihe eine spezielle Reihe. Benannt ist sie nach Johann Heinrich Lambert.

• Definition

• Eigenschaften

• Konvergenz

• Lambert-Reihe als Potenzreihe

• Alternative Form

• Anwendung

• Siehe auch

• Literatur

• Einzelnachweise

Die Lambert-Reihe ist eine Reihe mit dieser Form:

S ( q ) = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ a n q n 1 − − q n {\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}

Die Lambertsche L-Funktion bilden den Spezialfall dieser Reihe mit a n = 1 {\displaystyle a_{n}=1} für alle Werte n:

L ( q ) = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ q n 1 − − q n {\displaystyle L(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}

Für | q | = 1 {\displaystyle |q|=1} konvergiert die Lambert-Reihe nicht. Für | q | ≠ ≠ 1 {\displaystyle |q|\neq 1} konvergiert sie stets dann, wenn die Reihe ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ a n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} konvergiert. Konvergiert ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ a n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} nicht, dann konvergiert die Lambert-Reihe für alle q {\displaystyle q} , für die die Potenzreihe ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ a n q n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}} konvergiert (Satz von Konrad Knopp).

Die Lambert-Reihe kann für | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} in eine geometrische Reihe

S ( q ) = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ a n ∑ ∑ k = 1 ∞ ∞ q n k = ∑ ∑ m = 1 ∞ ∞ b m q m {\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}}

entwickelt werden, wobei sich die Koeffizienten b m {\displaystyle b_{m}} der neuen Reihe durch Dirichlet-Faltung von a n {\displaystyle a_{n}} mit der konstanten Folge 1 ( n ) = 1 {\displaystyle 1_{(n)}=1} ergeben:

b m = ( a ∗ ∗ 1 ) ( m ) = ∑ ∑ n ∣ ∣ m a n {\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}}

Setzt man q = e − − z {\displaystyle q=e^{-z}} , so erhält man eine andere übliche Form der Reihe

∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ a n e z n − − 1 = ∑ ∑ m = 1 ∞ ∞ b m e − − m z , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz},}

wieder mit

b m = ( a ∗ ∗ 1 ) ( m ) = ∑ ∑ n ∣ ∣ m a n . {\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.}

Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit z = 2 π π {\displaystyle z=2\pi } , treten in Ausdrücken der Riemannschen Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen auf.

Einige unendliche Summen können durch die Lambertsche L-Funktion dargestellt werden.cite-ref-1[1]cite-ref-2[2]

Unendliche Summe geradstelliger Fibonacci-Zahlen (mit dem griechischen Buchstaben Phi wird die Goldene Zahl dargestellt):

∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ 1 F 2 n = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ 5 Φ Φ 2 n Φ Φ 4 n − − 1 = 5 ( L ( Φ Φ − − 2 ) − − L ( Φ Φ − − 4 ) ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\sqrt {5}}\ \Phi ^{2n}}{\Phi ^{4n}-1}}={\sqrt {5}}\left(L\left(\Phi ^{-2}\right)-L\left(\Phi ^{-4}\right)\right)}

Unendliche Summe der Kehrwerte geradstelliger Pell-Zahlen:

∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ 1 P 2 n = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ 2 2 ( 2 + 1 ) 2 n ( 2 + 1 ) 4 n − − 1 = 2 2 ( L ( ( 2 − − 1 ) 2 ) − − L ( ( 2 − − 1 ) 4 ) ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}\left({\sqrt {2}}+1\right)^{2n}}{\left({\sqrt {2}}+1\right)^{4n}-1}}=2{\sqrt {2}}\left(L\left(\left({\sqrt {2}}-1\right)^{2}\right)-L\left(\left({\sqrt {2}}-1\right)^{4}\right)\right)}

Darstellung der Erdős-Borwein-Konstante mit der Lambertschen L-Funktion:

E = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ 1 2 n − − 1 = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ 2 n + 1 2 n 2 ( 2 n − − 1 ) = L ( 1 2 ) {\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}+1}{2^{n^{2}}\left(2^{n}-1\right)}}=L\left({\frac {1}{2}}\right)}

Unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der Zweierpotenzen:

∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ 1 2 n + 1 = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ ( 1 2 n − − 1 − − 2 4 n − − 1 ) = L ( 1 2 ) − − 2 L ( 1 4 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}+1}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2^{n}-1}}-{\frac {2}{4^{n}-1}}\right)=L\left({\frac {1}{2}}\right)-2L\left({\frac {1}{4}}\right)}

• Thetafunktion

• Elliptisches Nomen

• Eric W. Weisstein: Lambert Series. In: MathWorld (englisch).

• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974, S. 323.

• Ravi Agarwal: Lambert series and Ramanujan. Department of Mathematics and Astronomy, Universität Lucknow (लखनऊ विश्वविद्यालय), Indien.

cite-note-11. ↑ Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. In: wayback.cecm.sfu.ca. Abgerufen am 12. Mai 2023.

cite-note-22. ↑ Eric W. Weisstein: Erdős-Borwein Constant. In: MathWorld (englisch).